3.2245 \(\int (a+b \sqrt{x})^n \sqrt{x} \, dx\)
Optimal. Leaf size=74 \[ \frac{2 a^2 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{n+1}}{b^3 (n+1)}-\frac{4 a \left (a+b \sqrt{x}\right )^{n+2}}{b^3 (n+2)}+\frac{2 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{n+3}}{b^3 (n+3)} \]
[Out]
(2*a^2*(a + b*Sqrt[x])^(1 + n))/(b^3*(1 + n)) - (4*a*(a + b*Sqrt[x])^(2 + n))/(b^3*(2 + n)) + (2*(a + b*Sqrt[x
])^(3 + n))/(b^3*(3 + n))
________________________________________________________________________________________
Rubi [A] time = 0.0403011, antiderivative size = 74, normalized size of antiderivative = 1.,
number of steps used = 3, number of rules used = 2, integrand size = 17, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.118, Rules used =
{266, 43} \[ \frac{2 a^2 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{n+1}}{b^3 (n+1)}-\frac{4 a \left (a+b \sqrt{x}\right )^{n+2}}{b^3 (n+2)}+\frac{2 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{n+3}}{b^3 (n+3)} \]
Antiderivative was successfully verified.
[In]
Int[(a + b*Sqrt[x])^n*Sqrt[x],x]
[Out]
(2*a^2*(a + b*Sqrt[x])^(1 + n))/(b^3*(1 + n)) - (4*a*(a + b*Sqrt[x])^(2 + n))/(b^3*(2 + n)) + (2*(a + b*Sqrt[x
])^(3 + n))/(b^3*(3 + n))
Rule 266
Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Dist[1/n, Subst[Int[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(a
+ b*x)^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, m, n, p}, x] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]
Rule 43
Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x)^m*(c + d
*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[m, 0] && ( !IntegerQ[n] || (EqQ[c, 0]
&& LeQ[7*m + 4*n + 4, 0]) || LtQ[9*m + 5*(n + 1), 0] || GtQ[m + n + 2, 0])
Rubi steps
\begin{align*} \int \left (a+b \sqrt{x}\right )^n \sqrt{x} \, dx &=2 \operatorname{Subst}\left (\int x^2 (a+b x)^n \, dx,x,\sqrt{x}\right )\\ &=2 \operatorname{Subst}\left (\int \left (\frac{a^2 (a+b x)^n}{b^2}-\frac{2 a (a+b x)^{1+n}}{b^2}+\frac{(a+b x)^{2+n}}{b^2}\right ) \, dx,x,\sqrt{x}\right )\\ &=\frac{2 a^2 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{1+n}}{b^3 (1+n)}-\frac{4 a \left (a+b \sqrt{x}\right )^{2+n}}{b^3 (2+n)}+\frac{2 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{3+n}}{b^3 (3+n)}\\ \end{align*}
Mathematica [A] time = 0.0415923, size = 64, normalized size = 0.86 \[ \frac{2 \left (a+b \sqrt{x}\right )^{n+1} \left (2 a^2-2 a b (n+1) \sqrt{x}+b^2 \left (n^2+3 n+2\right ) x\right )}{b^3 (n+1) (n+2) (n+3)} \]
Antiderivative was successfully verified.
[In]
Integrate[(a + b*Sqrt[x])^n*Sqrt[x],x]
[Out]
(2*(a + b*Sqrt[x])^(1 + n)*(2*a^2 - 2*a*b*(1 + n)*Sqrt[x] + b^2*(2 + 3*n + n^2)*x))/(b^3*(1 + n)*(2 + n)*(3 +
n))
________________________________________________________________________________________
Maple [F] time = 0.02, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{x} \left ( a+b\sqrt{x} \right ) ^{n}\, dx \end{align*}
Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.
[In]
int(x^(1/2)*(a+b*x^(1/2))^n,x)
[Out]
int(x^(1/2)*(a+b*x^(1/2))^n,x)
________________________________________________________________________________________
Maxima [A] time = 0.962292, size = 96, normalized size = 1.3 \begin{align*} \frac{2 \,{\left ({\left (n^{2} + 3 \, n + 2\right )} b^{3} x^{\frac{3}{2}} +{\left (n^{2} + n\right )} a b^{2} x - 2 \, a^{2} b n \sqrt{x} + 2 \, a^{3}\right )}{\left (b \sqrt{x} + a\right )}^{n}}{{\left (n^{3} + 6 \, n^{2} + 11 \, n + 6\right )} b^{3}} \end{align*}
Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.
[In]
integrate(x^(1/2)*(a+b*x^(1/2))^n,x, algorithm="maxima")
[Out]
2*((n^2 + 3*n + 2)*b^3*x^(3/2) + (n^2 + n)*a*b^2*x - 2*a^2*b*n*sqrt(x) + 2*a^3)*(b*sqrt(x) + a)^n/((n^3 + 6*n^
2 + 11*n + 6)*b^3)
________________________________________________________________________________________
Fricas [A] time = 1.4501, size = 203, normalized size = 2.74 \begin{align*} \frac{2 \,{\left (2 \, a^{3} +{\left (a b^{2} n^{2} + a b^{2} n\right )} x -{\left (2 \, a^{2} b n -{\left (b^{3} n^{2} + 3 \, b^{3} n + 2 \, b^{3}\right )} x\right )} \sqrt{x}\right )}{\left (b \sqrt{x} + a\right )}^{n}}{b^{3} n^{3} + 6 \, b^{3} n^{2} + 11 \, b^{3} n + 6 \, b^{3}} \end{align*}
Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.
[In]
integrate(x^(1/2)*(a+b*x^(1/2))^n,x, algorithm="fricas")
[Out]
2*(2*a^3 + (a*b^2*n^2 + a*b^2*n)*x - (2*a^2*b*n - (b^3*n^2 + 3*b^3*n + 2*b^3)*x)*sqrt(x))*(b*sqrt(x) + a)^n/(b
^3*n^3 + 6*b^3*n^2 + 11*b^3*n + 6*b^3)
________________________________________________________________________________________
Sympy [B] time = 3.276, size = 5039, normalized size = 68.09 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}
Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.
[In]
integrate(x**(1/2)*(a+b*x**(1/2))**n,x)
[Out]
4*a**6*a**n*x**(9/2)*(1 + b*sqrt(x)/a)**n/(a**3*b**3*n**3*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*n**2*x**(9/2) + 11*a**3*b**3*
n*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*x**(9/2) + 3*a**2*b**4*n**3*x**5 + 18*a**2*b**4*n**2*x**5 + 33*a**2*b**4*n*x**5 + 18*
a**2*b**4*x**5 + 3*a*b**5*n**3*x**(11/2) + 18*a*b**5*n**2*x**(11/2) + 33*a*b**5*n*x**(11/2) + 18*a*b**5*x**(11
/2) + b**6*n**3*x**6 + 6*b**6*n**2*x**6 + 11*b**6*n*x**6 + 6*b**6*x**6) - 4*a**6*a**n*x**(9/2)/(a**3*b**3*n**3
*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*n**2*x**(9/2) + 11*a**3*b**3*n*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*x**(9/2) + 3*a**2*b**4*n**3*x**5
+ 18*a**2*b**4*n**2*x**5 + 33*a**2*b**4*n*x**5 + 18*a**2*b**4*x**5 + 3*a*b**5*n**3*x**(11/2) + 18*a*b**5*n**2
*x**(11/2) + 33*a*b**5*n*x**(11/2) + 18*a*b**5*x**(11/2) + b**6*n**3*x**6 + 6*b**6*n**2*x**6 + 11*b**6*n*x**6
+ 6*b**6*x**6) - 4*a**5*a**n*b*n*x**5*(1 + b*sqrt(x)/a)**n/(a**3*b**3*n**3*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*n**2*x**(9/2
) + 11*a**3*b**3*n*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*x**(9/2) + 3*a**2*b**4*n**3*x**5 + 18*a**2*b**4*n**2*x**5 + 33*a**2*
b**4*n*x**5 + 18*a**2*b**4*x**5 + 3*a*b**5*n**3*x**(11/2) + 18*a*b**5*n**2*x**(11/2) + 33*a*b**5*n*x**(11/2) +
18*a*b**5*x**(11/2) + b**6*n**3*x**6 + 6*b**6*n**2*x**6 + 11*b**6*n*x**6 + 6*b**6*x**6) + 12*a**5*a**n*b*x**5
*(1 + b*sqrt(x)/a)**n/(a**3*b**3*n**3*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*n**2*x**(9/2) + 11*a**3*b**3*n*x**(9/2) + 6*a**3*
b**3*x**(9/2) + 3*a**2*b**4*n**3*x**5 + 18*a**2*b**4*n**2*x**5 + 33*a**2*b**4*n*x**5 + 18*a**2*b**4*x**5 + 3*a
*b**5*n**3*x**(11/2) + 18*a*b**5*n**2*x**(11/2) + 33*a*b**5*n*x**(11/2) + 18*a*b**5*x**(11/2) + b**6*n**3*x**6
+ 6*b**6*n**2*x**6 + 11*b**6*n*x**6 + 6*b**6*x**6) - 12*a**5*a**n*b*x**5/(a**3*b**3*n**3*x**(9/2) + 6*a**3*b*
*3*n**2*x**(9/2) + 11*a**3*b**3*n*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*x**(9/2) + 3*a**2*b**4*n**3*x**5 + 18*a**2*b**4*n**2*
x**5 + 33*a**2*b**4*n*x**5 + 18*a**2*b**4*x**5 + 3*a*b**5*n**3*x**(11/2) + 18*a*b**5*n**2*x**(11/2) + 33*a*b**
5*n*x**(11/2) + 18*a*b**5*x**(11/2) + b**6*n**3*x**6 + 6*b**6*n**2*x**6 + 11*b**6*n*x**6 + 6*b**6*x**6) + 2*a*
*4*a**n*b**2*n**2*x**(11/2)*(1 + b*sqrt(x)/a)**n/(a**3*b**3*n**3*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*n**2*x**(9/2) + 11*a**
3*b**3*n*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*x**(9/2) + 3*a**2*b**4*n**3*x**5 + 18*a**2*b**4*n**2*x**5 + 33*a**2*b**4*n*x**
5 + 18*a**2*b**4*x**5 + 3*a*b**5*n**3*x**(11/2) + 18*a*b**5*n**2*x**(11/2) + 33*a*b**5*n*x**(11/2) + 18*a*b**5
*x**(11/2) + b**6*n**3*x**6 + 6*b**6*n**2*x**6 + 11*b**6*n*x**6 + 6*b**6*x**6) - 10*a**4*a**n*b**2*n*x**(11/2)
*(1 + b*sqrt(x)/a)**n/(a**3*b**3*n**3*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*n**2*x**(9/2) + 11*a**3*b**3*n*x**(9/2) + 6*a**3*
b**3*x**(9/2) + 3*a**2*b**4*n**3*x**5 + 18*a**2*b**4*n**2*x**5 + 33*a**2*b**4*n*x**5 + 18*a**2*b**4*x**5 + 3*a
*b**5*n**3*x**(11/2) + 18*a*b**5*n**2*x**(11/2) + 33*a*b**5*n*x**(11/2) + 18*a*b**5*x**(11/2) + b**6*n**3*x**6
+ 6*b**6*n**2*x**6 + 11*b**6*n*x**6 + 6*b**6*x**6) + 12*a**4*a**n*b**2*x**(11/2)*(1 + b*sqrt(x)/a)**n/(a**3*b
**3*n**3*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*n**2*x**(9/2) + 11*a**3*b**3*n*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*x**(9/2) + 3*a**2*b**4*n
**3*x**5 + 18*a**2*b**4*n**2*x**5 + 33*a**2*b**4*n*x**5 + 18*a**2*b**4*x**5 + 3*a*b**5*n**3*x**(11/2) + 18*a*b
**5*n**2*x**(11/2) + 33*a*b**5*n*x**(11/2) + 18*a*b**5*x**(11/2) + b**6*n**3*x**6 + 6*b**6*n**2*x**6 + 11*b**6
*n*x**6 + 6*b**6*x**6) - 12*a**4*a**n*b**2*x**(11/2)/(a**3*b**3*n**3*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*n**2*x**(9/2) + 11
*a**3*b**3*n*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*x**(9/2) + 3*a**2*b**4*n**3*x**5 + 18*a**2*b**4*n**2*x**5 + 33*a**2*b**4*n
*x**5 + 18*a**2*b**4*x**5 + 3*a*b**5*n**3*x**(11/2) + 18*a*b**5*n**2*x**(11/2) + 33*a*b**5*n*x**(11/2) + 18*a*
b**5*x**(11/2) + b**6*n**3*x**6 + 6*b**6*n**2*x**6 + 11*b**6*n*x**6 + 6*b**6*x**6) + 8*a**3*a**n*b**3*n**2*x**
6*(1 + b*sqrt(x)/a)**n/(a**3*b**3*n**3*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*n**2*x**(9/2) + 11*a**3*b**3*n*x**(9/2) + 6*a**3
*b**3*x**(9/2) + 3*a**2*b**4*n**3*x**5 + 18*a**2*b**4*n**2*x**5 + 33*a**2*b**4*n*x**5 + 18*a**2*b**4*x**5 + 3*
a*b**5*n**3*x**(11/2) + 18*a*b**5*n**2*x**(11/2) + 33*a*b**5*n*x**(11/2) + 18*a*b**5*x**(11/2) + b**6*n**3*x**
6 + 6*b**6*n**2*x**6 + 11*b**6*n*x**6 + 6*b**6*x**6) + 8*a**3*a**n*b**3*x**6*(1 + b*sqrt(x)/a)**n/(a**3*b**3*n
**3*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*n**2*x**(9/2) + 11*a**3*b**3*n*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*x**(9/2) + 3*a**2*b**4*n**3*x
**5 + 18*a**2*b**4*n**2*x**5 + 33*a**2*b**4*n*x**5 + 18*a**2*b**4*x**5 + 3*a*b**5*n**3*x**(11/2) + 18*a*b**5*n
**2*x**(11/2) + 33*a*b**5*n*x**(11/2) + 18*a*b**5*x**(11/2) + b**6*n**3*x**6 + 6*b**6*n**2*x**6 + 11*b**6*n*x*
*6 + 6*b**6*x**6) - 4*a**3*a**n*b**3*x**6/(a**3*b**3*n**3*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*n**2*x**(9/2) + 11*a**3*b**3*
n*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*x**(9/2) + 3*a**2*b**4*n**3*x**5 + 18*a**2*b**4*n**2*x**5 + 33*a**2*b**4*n*x**5 + 18*
a**2*b**4*x**5 + 3*a*b**5*n**3*x**(11/2) + 18*a*b**5*n**2*x**(11/2) + 33*a*b**5*n*x**(11/2) + 18*a*b**5*x**(11
/2) + b**6*n**3*x**6 + 6*b**6*n**2*x**6 + 11*b**6*n*x**6 + 6*b**6*x**6) + 12*a**2*a**n*b**4*n**2*x**(13/2)*(1
+ b*sqrt(x)/a)**n/(a**3*b**3*n**3*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*n**2*x**(9/2) + 11*a**3*b**3*n*x**(9/2) + 6*a**3*b**3
*x**(9/2) + 3*a**2*b**4*n**3*x**5 + 18*a**2*b**4*n**2*x**5 + 33*a**2*b**4*n*x**5 + 18*a**2*b**4*x**5 + 3*a*b**
5*n**3*x**(11/2) + 18*a*b**5*n**2*x**(11/2) + 33*a*b**5*n*x**(11/2) + 18*a*b**5*x**(11/2) + b**6*n**3*x**6 + 6
*b**6*n**2*x**6 + 11*b**6*n*x**6 + 6*b**6*x**6) + 20*a**2*a**n*b**4*n*x**(13/2)*(1 + b*sqrt(x)/a)**n/(a**3*b**
3*n**3*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*n**2*x**(9/2) + 11*a**3*b**3*n*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*x**(9/2) + 3*a**2*b**4*n**
3*x**5 + 18*a**2*b**4*n**2*x**5 + 33*a**2*b**4*n*x**5 + 18*a**2*b**4*x**5 + 3*a*b**5*n**3*x**(11/2) + 18*a*b**
5*n**2*x**(11/2) + 33*a*b**5*n*x**(11/2) + 18*a*b**5*x**(11/2) + b**6*n**3*x**6 + 6*b**6*n**2*x**6 + 11*b**6*n
*x**6 + 6*b**6*x**6) + 12*a**2*a**n*b**4*x**(13/2)*(1 + b*sqrt(x)/a)**n/(a**3*b**3*n**3*x**(9/2) + 6*a**3*b**3
*n**2*x**(9/2) + 11*a**3*b**3*n*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*x**(9/2) + 3*a**2*b**4*n**3*x**5 + 18*a**2*b**4*n**2*x*
*5 + 33*a**2*b**4*n*x**5 + 18*a**2*b**4*x**5 + 3*a*b**5*n**3*x**(11/2) + 18*a*b**5*n**2*x**(11/2) + 33*a*b**5*
n*x**(11/2) + 18*a*b**5*x**(11/2) + b**6*n**3*x**6 + 6*b**6*n**2*x**6 + 11*b**6*n*x**6 + 6*b**6*x**6) + 8*a*a*
*n*b**5*n**2*x**7*(1 + b*sqrt(x)/a)**n/(a**3*b**3*n**3*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*n**2*x**(9/2) + 11*a**3*b**3*n*x
**(9/2) + 6*a**3*b**3*x**(9/2) + 3*a**2*b**4*n**3*x**5 + 18*a**2*b**4*n**2*x**5 + 33*a**2*b**4*n*x**5 + 18*a**
2*b**4*x**5 + 3*a*b**5*n**3*x**(11/2) + 18*a*b**5*n**2*x**(11/2) + 33*a*b**5*n*x**(11/2) + 18*a*b**5*x**(11/2)
+ b**6*n**3*x**6 + 6*b**6*n**2*x**6 + 11*b**6*n*x**6 + 6*b**6*x**6) + 20*a*a**n*b**5*n*x**7*(1 + b*sqrt(x)/a)
**n/(a**3*b**3*n**3*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*n**2*x**(9/2) + 11*a**3*b**3*n*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*x**(9/2) + 3*
a**2*b**4*n**3*x**5 + 18*a**2*b**4*n**2*x**5 + 33*a**2*b**4*n*x**5 + 18*a**2*b**4*x**5 + 3*a*b**5*n**3*x**(11/
2) + 18*a*b**5*n**2*x**(11/2) + 33*a*b**5*n*x**(11/2) + 18*a*b**5*x**(11/2) + b**6*n**3*x**6 + 6*b**6*n**2*x**
6 + 11*b**6*n*x**6 + 6*b**6*x**6) + 12*a*a**n*b**5*x**7*(1 + b*sqrt(x)/a)**n/(a**3*b**3*n**3*x**(9/2) + 6*a**3
*b**3*n**2*x**(9/2) + 11*a**3*b**3*n*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*x**(9/2) + 3*a**2*b**4*n**3*x**5 + 18*a**2*b**4*n*
*2*x**5 + 33*a**2*b**4*n*x**5 + 18*a**2*b**4*x**5 + 3*a*b**5*n**3*x**(11/2) + 18*a*b**5*n**2*x**(11/2) + 33*a*
b**5*n*x**(11/2) + 18*a*b**5*x**(11/2) + b**6*n**3*x**6 + 6*b**6*n**2*x**6 + 11*b**6*n*x**6 + 6*b**6*x**6) + 2
*a**n*b**6*n**2*x**(15/2)*(1 + b*sqrt(x)/a)**n/(a**3*b**3*n**3*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*n**2*x**(9/2) + 11*a**3*
b**3*n*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*x**(9/2) + 3*a**2*b**4*n**3*x**5 + 18*a**2*b**4*n**2*x**5 + 33*a**2*b**4*n*x**5
+ 18*a**2*b**4*x**5 + 3*a*b**5*n**3*x**(11/2) + 18*a*b**5*n**2*x**(11/2) + 33*a*b**5*n*x**(11/2) + 18*a*b**5*x
**(11/2) + b**6*n**3*x**6 + 6*b**6*n**2*x**6 + 11*b**6*n*x**6 + 6*b**6*x**6) + 6*a**n*b**6*n*x**(15/2)*(1 + b*
sqrt(x)/a)**n/(a**3*b**3*n**3*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*n**2*x**(9/2) + 11*a**3*b**3*n*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*x**
(9/2) + 3*a**2*b**4*n**3*x**5 + 18*a**2*b**4*n**2*x**5 + 33*a**2*b**4*n*x**5 + 18*a**2*b**4*x**5 + 3*a*b**5*n*
*3*x**(11/2) + 18*a*b**5*n**2*x**(11/2) + 33*a*b**5*n*x**(11/2) + 18*a*b**5*x**(11/2) + b**6*n**3*x**6 + 6*b**
6*n**2*x**6 + 11*b**6*n*x**6 + 6*b**6*x**6) + 4*a**n*b**6*x**(15/2)*(1 + b*sqrt(x)/a)**n/(a**3*b**3*n**3*x**(9
/2) + 6*a**3*b**3*n**2*x**(9/2) + 11*a**3*b**3*n*x**(9/2) + 6*a**3*b**3*x**(9/2) + 3*a**2*b**4*n**3*x**5 + 18*
a**2*b**4*n**2*x**5 + 33*a**2*b**4*n*x**5 + 18*a**2*b**4*x**5 + 3*a*b**5*n**3*x**(11/2) + 18*a*b**5*n**2*x**(1
1/2) + 33*a*b**5*n*x**(11/2) + 18*a*b**5*x**(11/2) + b**6*n**3*x**6 + 6*b**6*n**2*x**6 + 11*b**6*n*x**6 + 6*b*
*6*x**6)
________________________________________________________________________________________
Giac [B] time = 1.08634, size = 312, normalized size = 4.22 \begin{align*} \frac{2 \,{\left ({\left (b \sqrt{x} + a\right )}^{3}{\left (b \sqrt{x} + a\right )}^{n} n^{2} - 2 \,{\left (b \sqrt{x} + a\right )}^{2}{\left (b \sqrt{x} + a\right )}^{n} a n^{2} +{\left (b \sqrt{x} + a\right )}{\left (b \sqrt{x} + a\right )}^{n} a^{2} n^{2} + 3 \,{\left (b \sqrt{x} + a\right )}^{3}{\left (b \sqrt{x} + a\right )}^{n} n - 8 \,{\left (b \sqrt{x} + a\right )}^{2}{\left (b \sqrt{x} + a\right )}^{n} a n + 5 \,{\left (b \sqrt{x} + a\right )}{\left (b \sqrt{x} + a\right )}^{n} a^{2} n + 2 \,{\left (b \sqrt{x} + a\right )}^{3}{\left (b \sqrt{x} + a\right )}^{n} - 6 \,{\left (b \sqrt{x} + a\right )}^{2}{\left (b \sqrt{x} + a\right )}^{n} a + 6 \,{\left (b \sqrt{x} + a\right )}{\left (b \sqrt{x} + a\right )}^{n} a^{2}\right )}}{{\left (b^{2} n^{3} + 6 \, b^{2} n^{2} + 11 \, b^{2} n + 6 \, b^{2}\right )} b} \end{align*}
Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.
[In]
integrate(x^(1/2)*(a+b*x^(1/2))^n,x, algorithm="giac")
[Out]
2*((b*sqrt(x) + a)^3*(b*sqrt(x) + a)^n*n^2 - 2*(b*sqrt(x) + a)^2*(b*sqrt(x) + a)^n*a*n^2 + (b*sqrt(x) + a)*(b*
sqrt(x) + a)^n*a^2*n^2 + 3*(b*sqrt(x) + a)^3*(b*sqrt(x) + a)^n*n - 8*(b*sqrt(x) + a)^2*(b*sqrt(x) + a)^n*a*n +
5*(b*sqrt(x) + a)*(b*sqrt(x) + a)^n*a^2*n + 2*(b*sqrt(x) + a)^3*(b*sqrt(x) + a)^n - 6*(b*sqrt(x) + a)^2*(b*sq
rt(x) + a)^n*a + 6*(b*sqrt(x) + a)*(b*sqrt(x) + a)^n*a^2)/((b^2*n^3 + 6*b^2*n^2 + 11*b^2*n + 6*b^2)*b)